函数复习(一)

函数复习(一)

 

二. 知识讲解:

1. 函数概念

如果A、B都是非空的数集,那么A到B的映射:称为A到B的函数,记作。其中,原象的集合A叫函数的定义域,象的集合()叫做函数的值域。

注:

(1)函数概念含有三要素:即定义域A,值域B和对应法则,其中核心是对应法则,它是函数关系的本质特征。

(2)定义域及对应法则确定函数。

2. 函数的表示方法

(1)解析法   (2)列表法   (3)图象法

  3. 复合函数

如果是的函数,而又是的函数,即,,那么关于的函数叫做函数,的复合函数,叫中间变量。

函数复习(一)

注:若定义域是集A,的值域是集B,当且仅当时,复合函数的定义域是的定义域。

  4. 定义域的求法

(1)自然定义域:如果函数是由解析式给出的,那么函数的定义域就是能使解析式成立的未知数的取值范围。此时定义域可以不写出来,如函数定义域但如果非自然定义域就必须写出如,解析式给出的函数定义域是受运算法则制约的,其实质就是从解析式所含运算可以实施行为准则出发列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,需注意:① 分式中分母不得0;② 偶次方根中被开方数非负;③ 对数式中真数为正,底为正数且不为1;④ 无意义。

 

【典型例题】

[例1] 求下列函数的定义域

(1)   (2)   (3)

解:

(1)由,定义域且

注:求函数定义域之前,尽量不对函数的解析式作变形,如此题,则定义域R,显然错误。

(2)由或

或或或

所以定义域或或

注:若先变形易求定义域为或显然错误。

(3)由

 

[例2] 求下列函数的定义域

(1)

(2)

(3)()

解:

(1)含参类型需对字母讨论

① 当时,

② 当时,

(2)

① 当时,

② 当时,

③ 当时,或

综上定义域,,

(3)原函数有意义

① 当时,

② 当时,

<1> 若即时,

<2> 若,即时,

<3> 若即时,当时,,当时,

定义域:

当时,

当且时,,当且时,

当且时,,当且时,

 

[例3] 为何值时,函数的定义域为R。

分析:定义域与分子无关,只需求分母等于0,问题即取何实数不等于0。

解:

(1)时,,即取任何实数时,都有意义,定义域R。

(2)时,分母恒不等于0的条件是判别式小于0,

(3)时,抛物线开口向下,它恒不等于0的条件是其顶点纵坐标小于0,即

   ∴ 与矛盾,不成立。

综上函数的定义域为R   ∴

 

[例4] 设,集合

(1)求证的定义域是实数R的充要条件是;

(2)当时,设的最大值为,求的值域。

证明:

(1)对任,

(2)对

故,当且仅当

即时取等号。

 

【模拟试题】

1. 函数定义域,求的定义域。

2. 函数的定义域求函数的定义域。

3. 已知函数,求定义域

4. 已知,其中AB+AC=6,BC=4,M为BC的中点,试建立AM关于AB的函数式,并求出定义域。

 

 

 

 

 

 


【试题答案】

1.

解:令,由,故定义域也即定义域,又的定义域,故定义域。

2.

解:由的定义域

的定义域[0,1],又由

定义域

3.

解:设

要使函数有意义,须

,即定义域()

4.

解:设,则,又设

 ①

 ②

①+②得即

现求定义域

(1)取值应借助解析式即   ∵

故对任何 

(2)再从实际意义考虑

由(1)与(2)的交集得的定义域为(1,5)

  

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